Mat 2016 – Questão 13

0-Verdadeiro

Como a e r são fixos, quando nà+∞, a/nà0, (1+ a/n)à1 e (1+ a/n)^rà1. Ou seja, a sequência converge para 1 não importa o a e r, desde que fixados.

1- Verdadeiro

Se  converge, a_nà0.

Então, a partir de algum termo da soma, a sequência tem que ter apenas elementos menores do que 1. Seja i a posição do último termo tal que a_i>=1.

Assim, para todos os termos que vem depois de i, o termo ao quadrado é menor do que o próprio termo:

Isso porque um número menor do que 1 ao quadrado é menor do que o próprio número.

Assim, a série converge pois ela é menor do que , sendo que esta converge.

Veja que:

Como  tem número limitado de termos, ela não pode divergir.

Então, as duas parcelas convergem e a série também.

2-Falso

Como dá para fatorar o denominador, vamos tentar separar cada termo da sequência em uma soma:

Quem tem mais prática pode perceber que A=1/2 e B=-1/2 satisfaz acima.

De qualquer forma, vamos mostrar como determinar A e B:

Comparando os numeradores da última igualdade, vemos que:

Assim:

Substituindo na série:

Vamos “abrir” a série, apenas para visualizar o que acontece:

Perceba que todos os termos negativos são cancelados pelo termo positivo equivalente, o qual se encontra sempre 3 posições depois. Assim, quase tudo se zera, restando:

3- Verdadeiro

Achei esse item um tanto complicado…

Para facilitar um pouco, vamos considerar uma sequência auxiliar {a_n}_n≥1 tal que a_n=2ⁿ:

Agora vamos tentar fazer algo parecido com que fizemos no item passado. Fatorando o denominador:

Sendo a₁ e a₂ as raízes do polinômio 2a²-3a+1:

Voltando para (*):

Substituindo a_n=2ⁿ:

Assim como no item anterior, vamos tentar “quebrar” o termo da série em duas frações, da seguinte forma:

Com mais prática, é possível notar que A=1 e B=-1 satisfaz a identidade acima.

De qualquer forma, desenvolvendo para encontrar o A e B:

Assim, A e B devem satisfazer:

Então, voltando para a série:

“Abrindo” essa soma para visualizar o que acontece:

Veja que cada parcela negativa é cancelada pela parcela seguinte, restando apenas a primeira parcela. Assim:

4-Falso

Vamos “abrir” o somatório:

Perceba que é uma soma de PG com razão a. Como 0<a<1, ela converge para o seguinte: